南方科技大学610数学分析.pdf
1 / 3 南 方 科 技 大 学2024 级 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 大 纲考 试 科 目 代 码 : 610 考 试 科 目 名 称 : 数 学 分 析一 、 考 试 要 求1) 要 求 考 生 熟 练 掌 握 数 学 分 析 的 基 本 概 念 、 基 本 理 论 和 基 本 方 法 。2) 要 求 考 生 具 有 严 格 的 数 学 论 证 能 力 、 举 反 例 能 力 和 基 本 计 算 能 力 。3) 要 求 考 生 了 解 数 学 分 析 中 的 基 本 概 念 、 理 论 、 方 法 的 实 际 来 源 和 历 史 背 景 ,清 楚 它 们 的 几 何 意 义 和 物 理 意 义 , 初 步 具 备 应 用 数 学 分 析 解 决 实 际 问 题 能 力 。二 、 考 试 内 容 1) 极 限 和 连 续 性a 数 列 极 限 与 函 数 极 限 的 概 念 , 包 括 数 列 的 上 、 下 极 限 和 函 数 的 左 、 右 极 限 。b 极 限 的 性 质 及 四 则 运 算 性 质 , 两 面 夹 原 理 。c 区 间 套 定 理 , 确 界 存 在 定 理 , 单 调 有 界 原 理 , Bolzano-Weierstrass 定 理 ,Heine-Borel有 限 覆 盖 定 理 , Cauchy收 敛 准 则 。d 函 数 连 续 性 的 概 念 及 相 关 的 不 连 续 点 类 型 。 函 数 连 续 的 四 则 运 算 与 复 合 运 算性 质 ,以 及 无 穷 小 量 比 较 。e 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 : 有 界 性 定 理 、 最 值 定 理 、 介 值 定 理 和 一 致 连 续 性定 理 。2) 一 元 函 数 微 分 学 a 导 数 和 微 分 的 概 念 及 其 相 互 关 系 , 导 数 的 几 何 意 义 和 物 理 意 义 , 函 数 可 导 性与 连 续 性 之 间 的 关 系 。b 函 数 导 数 与 微 分 的 运 算 法 则 , 包 括 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 , 分 段 函 数 的 导 数 。c Rolle中 值 定 理 , Lagrange中 值 定 理 和 Cauchy中 值 定 理 以 及 Taylor公 式 。d 函 数 的 导 数 与 单 调 性 , 极 值 , 最 值 和 凸 凹 性 。e L Hopital( 洛 必 达 ) 法 则 , 不 定 式 极 限 。3) 一 元 函 数 积 分 学a 不 定 积 分 的 概 念 , 不 定 积 分 的 基 本 公 式 , 换 元 积 分 法 和 分 部 积 分 法 , 有 理 函数 、 三 角 函 数 和 简 单 无 理 函 数 的 积 分 。 2 / 3 b 定 积 分 的 概 念 , 包 括 Darboux和 , 上 、 下 积 分 及 可 积 条 件 与 可 积 函 数 类 。c 定 积 分 的 性 质 , 微 积 分 基 本 定 理 , 定 积 分 的 换 元 积 分 法 和 分 部 积 分 法 。d 用 定 积 分 表 达 和 计 算 一 些 几 何 量 与 物 理 量 ( 平 面 图 形 的 面 积 , 平 面 曲 线 的 弧长 , 旋 转 体 的 体 积 与 侧 面 积 , 平 行 截 面 面 积 已 知 的 立 体 体 积 , 变 力 做 功 和 物 体 的质 量 与 质 心 ) 。e 广 义 积 分 的 概 念 , 广 义 积 分 收 敛 的 比 较 判 别 法 , Abel判 别 法 和 Dirichlet判别 法 , 其 中 包 括 积 分 第 二 中 值 定 理 。4) 无 穷 级 数a 数 项 级 数 敛 散 性 的 概 念 , 数 项 级 数 的 基 本 性 质 。b 正 项 级 数 敛 散 的 必 要 条 件 , 比 较 判 别 法 , Cauchy判 别 法 , D Alembert判 别 法 与 积 分 判 别 法 。c 任 意 项 级 数 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛 的 概 念 及 其 相 互 关 系 , 交 错 级 数 的 Leibnitz判 别 法 , 绝 对 收 敛 级 数 的 性 质 。d 函 数 项 级 数 一 致 收 敛 性 的 概 念 以 及 判 断 一 致 收 敛 性 的 Weierstrass 判 别 法 ,Abel判 别 法 和 Dirichlet判 别 法 , 一 致 收 敛 级 数 的 性 质 。e 幂 级 数 及 其 收 敛 半 径 的 概 念 , 包 括 Cauchy-Hadamard定 理 和 Abel第 一 定 理 。f 幂 级 数 的 性 质 , 将 函 数 展 开 为 幂 级 数 , Weierstrass逼 近 定 理 。g Fourier级 数 的 概 念 与 性 质 以 及 收 敛 性 的 判 别 法 。5) 多 元 函 数 微 分 学 与 积 分 学a 多 元 函 数 极 限 与 连 续 性 , 偏 导 数 和 全 微 分 的 概 念 , 多 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 。b 隐 函 数 存 在 定 理 , 反 函 数 定 理 。c 多 元 函 数 极 值 和 条 件 极 值 , Lagrange乘 子 法 , 偏 导 数 的 几 何 应 用 。d 重 积 分 , 第 一 型 、 第 二 型 曲 线 积 分 和 曲 面 积 分 的 概 念 与 计 算 。e 梯 度 , 散 度 , 旋 度 及 其 物 理 、 几 何 意 义 。f Gauss公 式 、 Green公 式 和 Stokes公 式 及 其 应 用 。6) 含 参 变 量 积 分a 含 参 变 量 常 义 积 分 的 概 念 与 性 质 。b 含 参 变 量 广 义 积 分 的 一 致 收 敛 性 的 概 念 及 其 判 别 法 , 一 致 收 敛 的 含 参 变 量 广 3 / 3 义 积 分 的 性 质 。三 、 考 试 时 间 : 180 分 钟 , 满 分 : 150 分四 、 参 考 书 目 : 数 学 分 析 教 程 ( 上 、 下 册 ) , 常 庚 哲 、 史 济 怀 编 , 中 国 科 学 技 术 大 学 出 版 社 ,2013年 , 第 三 版 。