上海海事大学2017考研真题831高等代数.pdf
2017年上海海事大学攻读硕士学位研究生入学考试试题 ( 重要提示 :答案必须做在答题纸上,做在试题上不给分) 考试科目 代码 831 考试科目名称 高等代数 一、选择填空(从 4 个备选答案中选择一项正确的,将相应字母填写在 答题纸上 。每小题5 分,共 60 分) 1. 在 Fx里能整除任意多项式的多项式是( )。 A. 零多项式 B. 零次多项式 C. 本原多项式 D. 不可约多项式 2. 行列式 4 1 0326 5 7a中,元素 a 的代数余子式是( )。 A. 4067B. 4165C. 4067 D. 41653. 设 M 是 4 阶方阵, 3M ,则 22M( )。 A. 18 B. 18 C. 144 D. 144 4. 设 M, N 均为 n 阶矩阵,则 以下结论 正确的 是 ( )。 A. |M+N|=|M|+|N| B. |MN|=|NM| C. MN=NM D. (MN)2=M22MN+N2 5. 要使矩阵 1 1 2112 3 4t的秩最小,则 t ( ) 。 A. 2 B. 2 C. 3 D. 3 6. 设 12,是 n 维向量,令 1 2 12 , 2 1 2 , 3 1 2 , 则向量组 1 2 3, ( )。 A. 线性相关 B. 线性无关 C. 可互相线性表示 D. 不能确定相关性 7. 设 M, N 为 n 阶方阵,则( ) 。 A M, N 可逆,则 M+N 可逆 B M, N 不可逆,则 M+N 不可逆 C M 可逆, N 不可逆,则 M+N 不可逆 D M 可逆, N 不可逆,则 MN 不可逆 8 下列集合中,是 R3的子空间的 是 ( ),其中 1 2 3( , , )x x x A. 3 | 0x B. 1 2 3 | 2 3 0x x x C. 3 | 1x D. 1 2 3 | 2 3 1x x x 9. n 阶方阵 M 具有 n 个不同的特征值是 M 与对角阵相似的( )。 A. 充要条件 B. 充分而非必要条件 C. 必要而非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 10. 实 2 维向量空间 R2中对任意两个向量 ),( 21 aa , ),( 21 bb , 定义运算 )( 2121 bbaaba . 则 该运算 ( ) R2上的一个 内积 。 A. 构成 B. 一定条件下可以构成 C. 不能构成 D. 以上选项都不对 11 设 , 是相互正交的 n 维实向量,则下列各式中错误的是( )。 A. 2 2 2| | | | | | B. | | | | C. 2 2 2| | | | | | D. | | | | | | 12. 当 实数 t 满足条件( )时, 二次型 212221 2 xtxxx 是 正定的 。 A. t1 C. 1t1 D. t=1 或 t=1 二 、 计算题 ( 其中 1、 2 小题每题 15 分, 3、 4 小题每题 20 分 ,共 70 分) 1.( 15 分) 求方程组 1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 42 3 4 54 2 5 6 76 3 7 8 94 9 1 0 1 1x x x xx x x xx x x xx x x x 通解 (根据 的不同取值范围分别进行讨论) 。 2.( 15分)已知向量 1 2 3 41 1 2 12 1 1 1, , , .3 6 2 24 6 9 7 求线性子空间 W=L( 1 2 3 4, , , )的维数与一个基。 3.( 20分) 已知 是线性空间 V 上的线性变换, 关于 V 的基的矩阵为 4 6 03 5 03 6 1A . 求矩阵 T 使 A 可对角化 . 4.( 20 分) 求一个正交变换把下列二次型化成标准形 323121232221321 84422),( xxxxxxxxxxxxf 三 、 证明题 ( 每题 10 分, 共 20 分) 1.( 10分)已知 1 2 1, , , s 是 s+1个向量, 1 0.s 而向量 12, , , s 满足以下条件 1 1 2, ; , , , ,i i s st t R t 且 对 于 任 意 线 性 无 关 。 求证向量 1 2 1, , , s 也线性无关。 2.( 10分) 设 A为实 mn矩阵,试证 ATA与 A有相同的秩,即 r(ATA)= r(A).