2021年天津商业大学硕士研究生考试真题之714高等数学.pdf
天津商业大学 2021 年硕士研究生招生考试试题 专 业: 统计学 科目 名称: 高等数学 ( 714) 共 3 页 第 1 页 说明:答案标明题号写在答题纸上,写在试题纸上的无效。 一、选择题( 1-10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 极限 0 20 ln(1 )lim x x t dt x + = ( ) . ( A) 1 ( B) 12 ( C) 12 ( D) 1 2. 积分 2 0 sinx xdx = ( ) . ( A) 2 4 ( B) 2 2 ( C) 22 ( D) 2 3. 极限 14lim( )2n n n + =( ) . ( A) e ( B) 2e ( C) 2 ( D) 1 4. 设由 ()y nz f x mz = (其中 f 可导)确定 z 是 ,xy的函数,则 zzmn xy+= ( ) . ( A) m ( B) n ( C) 1 ( D) 1 5. 二重积分 2 11 30 1x xydx dyy =+ ( ) . ( A) 23 ( B) 1( 2 1)3 ( C) 13 ( D) 1( 2 1)3 + 6. 设 ()y yx= 由 cos sinxtyt= = 确定,则 2 2dydx= ( ) . ( A) 3csct ( B) 3sect ( C) 3sint ( D) 3cost 7. 设 1 1 1 1 2 1 0 0 3 0 1 0 4 0 0 1 A = , 则 1*1() 3 AA = ( ). ( A) 14 ( B) 12 ( C) 14 ( D) 12 天津商业大学 2021 年硕士研究生招生考试试题 专 业: 统计学 科目 名称: 高等数学 ( 714) 共 3 页 第 2 页 说明:答案标明题号写在答题纸上,写在试题纸上的无效。 8. 设 111 11 x A x y y = ,矩阵 A 相似于矩阵 0 0 00 1 0 0 0 2 ,则 ,xy的值为( ) . ( A) 0, 0 xy= ( B) 1, 1xy= = ( C) 0, 1xy= ( D) 1, 1xy= 9. 设 1 2 3, 为齐次线性方程组 A=0 x 的一个基础解系,则下列为 A=0 x 基础解系的向 量组是( ) . ( A) 1 2 2 3 3 1, ( B) 1 1 2 1 2 3, + + + ( C) 1 1 2 2 3, , (k k k k + 为 任 意 常 数 ) ( D) 1 2 3 1 2 3, + + 10. 设 ,为 3 维列向量,若 1 1 22 2 4 3 3 6 T = , 则 T= ( ) ( A) 0 ( B) 1 ( C) 2 ( D) 3 二、计算题( 11-18 小题,共计 75 分) 11.( 7 分) 讨论积分 1 1p dxx + 的敛散性 . 12.( 9 分)某厂生产 ,AB两种产品,产品 A 每斤可获利 6 元,产品 B 每斤可获利 4 元, 而生产 A 产品 x 斤, B 产品 y 斤所需成本为 2( , ) 1 0 0 0 0 0 60000 xC x y x y= + + +(元) .问: 若该厂现有资金 200000元,则两种产品各生产多少获利最大?最大利润是多少? 13.( 9 分)求微分方程 210 9 xy y y e + =满足初始条件 6(0) 7y = , 33(0) 7y = 的特解 . 14.( 9 分) 讨论函数 21( ) lim 1 nn xfx x += + 的间断点及其类型 . 15.( 9 分)讨论级数 1 1 1( 1) (1 c o s )n n n = 的收敛性,若收敛,指明是条件收敛还是绝对 收敛 . 天津商业大学 2021 年硕士研究生招生考试试题 专 业: 统计学 科目 名称: 高等数学 ( 714) 共 3 页 第 3 页 说明:答案标明题号写在答题纸上,写在试题纸上的无效。 16.( 10 分) 设线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 kx x x t x kx x x x kx + + = + + = + + = 有两个不同的解,求参数 ,kt的值,并求对 应方程组的通解 . 17.( 10 分) 设向量组 1 2 3 1 2 3 2 , 1 , 2 34a = = = 是 3R 的 一 个 基, 5 3 = 在 这 个 基下的 坐标为 (2, , )bc . ( 1)求 ,abc的值; ( 2)证明 23, 是 3R 的 一 个 基,并求由 1 2 3, 到 23, 的过渡矩阵 . 18.( 12 分) 设有实二次型 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 2 2 2f x x x x a x x b x x x x x x= + + + + + +,经过正交线 性变换,二次型化为标准形 221 2 3 1 2( , , ) 4f y y y y y=+. ( 1)求 ,ab的值; ( 2)求二次型标准化所用的正交线性变换 . 三、证明题( 19-21 小题,共计 25 分) 19.( 8 分) 若 0 x ,证明 2 ln(1 )2xxx + . 20.( 9 分) 设 ()fx在 0,1 上连续,在 (0,1) 内可导,且 (0) (1) 0ff=, 1( ) 12f = ,证明: ( 1)存在 1( ,1)2 ,使得 ()f = ; ( 2)存在 (0, ) ,使得 ( ) 2( ( ) ) 1ff =. 21.( 8 分) 设 A 为 n 阶方阵, 2 23A A E+=,试证明 ( 1) A 可逆,并求 1A ; ( 2) ( ) ( 3 )r A E r A E n + + =.