2020年中国科学院大学数学与物理综合硕士研究生入学考试真题.docx
中国科学院大学2020年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称:数学与物理综合考生须知:1. 本试卷满分为150分,全部考试时间总计180分钟o2. 所有答案必须写在答题纸上,写在试题纸上或草稿纸上一律无效o试题总分值为150分,其中数学部分试题小计分值为75分,物理部分试题小计分值为75分o数学部分试题微积分(45分)科目名称:数学与物理综合第2页 共4页1. (5分) k为实常数,求出满足下述条件的常数a和b:x2 + k2limx一ax 一b、= 0.+ox + 12. (10分) 设f C(a, b), x1, , xn a, b. 证明:存在 a, b使得 这里f () = 1f (x1) + + nf (xn).n i=1i = 1且i 0(i = 1, , n)on=13宕x3. (10分) 讨论级数 o 2n sin 1 在(0, &)上的一致收敛性o4. (10分) 设f 是0, +&)上以T 0为周期的连续函数,试证lim1 xf (s)ds =1 Tf (s)ds.x+o x 0T 0D5. (10分) 设D = ,(x, y) R2 ) x2 + y2 冬 1、,计算二重积分 (xy2 + x2)dxdyo线性代数(30分)3x1 + x2 一x3 一 2x4=2,x1 一 5x2 + 2x3 + x4=一12x1 + 6x2 一 3x3 一 3x4= + 1x1 一 11x2 + 5x3 + 4x4=一4.1. (10分) 讨论取何值时以下方程组有解,并求其解(18分):一2. (10分) 如果一个5 5的矩阵A的特征多项式为(x) = (x 一 3)4(x + 2)且矩阵A 一 3I5的秩为3,其中I5是5阶单位矩阵,求出A的Jordan标准型JA.3. (10分) 证明:(1) 如果A是正定矩阵,则A-1也是正定矩阵:(5分)(2) 如果A和B是正定矩阵,则2A + 3B也是正定矩阵o(5分)中国科学院大学 2020 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称:数学与物理综合 物理部分,试题分值共 100 分,按要求选做 75 分,满分 75 分。一、单项选择题(每小题 5 分,请选做 3 小题;如果多做,只计入前 3 小题的分数) 1. 在高空走钢丝者手持长杆作为辅助,所应用的物理原理是(A) 长杆很重,走钢丝者手持长杆有一种踏实的感觉;(B) 长杆的转动惯量对运动的平衡作用;(C) 长杆对风的平衡能力;(D) 走钢丝者的体重加上长杆的重量,增加了运动的惯性。2. 三个点电荷分别位于边长为a的正三角形的三个顶点,它们的电荷量分别为g, 2g 和- 4g。真空介电常数为e0,则这个系统的总静电能为(设相距无穷远时相互作用能为零) (A) -5g2/2Te0a; (B) -5g2/4Te0a; (C) -7g2/4Te0a; (D) -7g2/2Te0a。3. 有一半径为R的单匝圆线圈,通以顺时针电流1。若将该导线弯成匝数N = 2的平面圆线圈,导线总长度保持不变,并且线圈中电流仍为顺时针电流1,则线圈中心的磁感 强度和线圈的磁矩分别是原来的 (A) 4 倍和 1/8; (B) 4 倍和 1/2; (C) 2 倍和 1/4; (D) 2 倍和 1/2。4. 以下选项中,最接近理想气体的是(A) 低温高压气体;(B) 低温低压气体;(C) 高温低压气体;(D) 气液共存时的气体。 科目名称:数学与物理综合 第 4 页,共 4 页二、(必做题,15 分)一束光线从折射率为nl的介质入射到折射率为n2的介质(设 nl n2),在两种介质的界面有反射和折射现象。在处理光的反射问题时,简述费马原理和菲涅耳公式各得到哪些主要结论。 三、(必做题,25 分)如图所示,离地心 3R(R 为地球半径)处有一质量为 m 的飞船绕地球作匀速圆周运动,问: (1) 它的运行速度大小p0为多少?(2) 飞船在此处要将它的运动速度大小至少增加到pl为多少时,它才能飞离地球? (3) 飞船在 3R 处,速度大小瞬间增加到pl后(方向不变)关闭发动机,则在飞离地球的过程中,离地心为 12R 处,它的切向加速度大小 ar 为多少?该处轨道的曲率半径o为多少? 注:以上各答案都用地球半径 R 以及地球表面附近的重力加速度 g 来表示。 (请从以下第四、五题中选做一题。如果多做,只计前一题的分数。) 四、(选做题,20 分)如图所示,一条无穷长的导线载有电流1,该导线弯成一抛物线形状,抛物线方程为y2 = 4ax,抛物线焦点 F 的坐标为(a, 0),真空中的磁导率为u0,求焦点 F 处的磁感应强度 B。 五、(选做题,20 分)球形电容器由半径为Rl的导体球和与它同心半径为R2的导体球壳构成,Rl R2。其间充满电介质,介质的介电常数是变化的,在Rl处相对介电常数为el,在R2处相对介电常数为e2,半径Rl到R2之间电介质的相对介电常数随半径的变化而连续线性从el变化到e2。内球带自由电荷0。 (1) 求介质中的电场分布。(2) 作半径为R3 = (Rl + R2)/2的球面(球心与导体球相同),求此球面内电荷总量。