2008年广西民族大学高等代数考研试题.pdf
第 1 页 共 2 页 广西民族大学 2008 年硕士研究生入学考试试题 (所有试题答案必须写在答题纸上,答案写在试卷上无效) 学科专业:基础数学、计算数学、应用数学 研究方向: 考试科目: 高等代数 试卷代号: A 卷 一(15 分)、若 f(x),g(x)不全为零,且 u(x)f(x) v(x)g(x) (f(x),g(x)+= ,则 (u(x),v(x) 1=二(15 分) 、计算 n 阶行列式230 00023 00000 23300 02# # 三(20 分)、求解方程组12 312312 3(a 3)x x 2x aax (a 1)x x 2a3(a 1)x ax (a 3)x 3+=+ +=+= 四(15 分)、设向量 可由12 s, 线性表出,证明:表示法唯一的充分必要条件是12 s, 线性无关。 五(15 分)、设1nf(x , ,x ) XAX= 是一实二次型,若有实 n 维向量12X,X 使得11XAX 0 ,22XAX 0 。证明存在非零实 n 维向量3X 使得33XAX 0= 。 六(15 分)、求由向量i 生成的子空间与由向量i 生成的子空间的交的基和维数, 设 1122(1, 2,1,0) (2, 1,0,1),( 1,1,1,1) (1, 1,3,7)= = = = 七(20 分)、设1234,是四维线性空间 V 的一组基, 已知线性变换 f 在这组基下的矩阵为 1021121 31255221 2 第 2 页 共 2 页 求 (1)线性变换 f 在基11 242 2343 344 42,3 , ,2 = + = = + = 下的矩阵 (2)求线性变换 f 的核和值域 八(15 分)、设 B 为一 rr 矩阵,C 为一 rn 矩阵,且秩 (C) r= ,证明:1)若 BC 0= ,则 B0= ;2)若 BC C= ,则 BE= 九(20 分)、设 V 是 n 维线性空间, f,g是 V 上的线性变换, 且 f 有 n 个互异的特征根,证明 fg gf= 当且仅当 g 是02n1fI,f,f,f= 的线性组合