2010年广西民族大学高等代数考研试题.pdf
第 1 页 共 2 页 广西民族大学 2010 年硕士研究生入学考试试题 (所有试题答案必须写在答题纸上,答案写在试卷上无效) 学科专业: 基础数学、应用数学、计算数学 研究方向: 考试科目:高等代数 试卷代号: A卷 1 (15 分)计算下列行列式: 121212nnnxm x xxxm xx xxmLLMMLML. 2.(15 分) 已知 01 110111 0= A 求一正交矩阵 T使 TAT成对角形。 3. (15 分) 已知1(1,0,2) = ,2(0,1,1) = ,3(3, 1,0) = 。 A 是3P 中的线性变换,且123(5,0,3), (0,1,6), (5,1,9) = = =AAA 。求 A 在基1(1, 0, 0) = ,2(0,1,0) = ,3(0,0,1) = 下的矩阵。 4. (15) 讨论 ,ab取什么值时,线性方程组 1231231234,3,24.ax x xxbxxxbxx+=+=+= 有解,并求解. 5. (15 分) 证明:如果方程组 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 211 2 2nnnnnn nnnax ax ax bax ax ax bax ax ax b+=+=+=LLLLLLLLLLLL 对任何12,nbb bL 都有解,则 |( ) | 0ij nna 。 6. (15 分)设00AXC=,已知 ,A C 可逆,求1X。 7 (15 分)设 A是 n级方阵,若对任意的 n维向量 x ,有 x =A0,则 0A= 。 8. (15 分) 设 A 是一个 n 阶实对称矩阵,且 A0 。证明存在实 n 维向量 X 使得XAX 0 。第 2 页 共 2 页 9 (15 分) 设1234,是四维线性空间 V 的一组基, 已知线性变换 f 在这组基下的矩阵为1021121 31255221 2, 求: (1)线性变换 f 在基11 242 2343 344 42,3 , ,2 = + = = + = 下的矩阵(2)求线性变换 f 的核和值域。 10 (15 分) A 是一个 n 阶矩阵,2A4A,= A 的秩为 r ,计算 A3I ,其中 I 为单位矩阵 。