宁波大学2020年硕士初试自命题科目真题871【高等代数】.pdf
宁 波 大 学 2020 年 硕 士 研 究 生 招 生 考 试 初 试 试 题 (B 卷 )(答 案 必 须 写 在 考 点 提 供 的 答 题 纸 上 )第 1 页 共 1 页科 目 代 码 : 871 总 分 值 : 150 科 目 名 称 : 高 等 代 数本 试 题 共 九 道 大 题 , 总 分 共 150 分 .1. (15 分 ) 试 就 实 数 域 和 复 数 域 两 种 情 况 , 求 1( ) 1n nf x x x x 的 标 准 分 解 式 .2. (15分 ) 设 矩 阵 ,A B满 足 2 8 A BA BA E, 其 中 1 2 20 2 40 0 1 A , A 是 A的 伴 随 矩 阵 , E为单 位 矩 阵 , 求 矩 阵 .B3. (15分 ) 已 知 矩 阵 1 2 2 1 0 02 2 , 0 1 0 ,2 2 1 0 0 A Ba b 问 ,a b为 何 值 时 , A与 B相 似 , 并 求 可 逆 矩阵 P使 得 1 . P AP B4. (15分 ) 设 21 0 00ab c A , 这 里 , ,a b c 是 任 意 数 , 1 32 i , 求 1000.A5 (15 分 ) 设 方 阵 A满 足 2+2 3 .A A E O (1) 求 证 4A E 可 逆 , 并 求 逆 ; (2) 讨 论 A nE 的 可 逆性 .6. (20 分 ) 用 正 交 变 换 化 二 次 型 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 4 4 4f x x x x x x x x x x x x 为 标 准 形 (要 求 写 出正 交 变 换 的 矩 阵 和 相 应 的 标 准 形 ).7. (20分 ) 已 知 3 4 6 141 1 1 50 0 2 10 0 1 0 A ,(1) 求 A的 不 变 因 子 , 初 等 因 子 和 最 小 多 项 式 .(2) 求 A的 若 当 标 准 形 .8 (15分 ) 设 1 2,V V 是 数 域 P 上 的 线 性 空 间 , 1 2 1 2 1 2( , ),( , ) ,V V k P , 规 定1 2 1 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , ) ; 1 2 1 2( , ) ( , )k k k .(1) 证 明 1 2V V 关 于 以 上 运 算 构 成 数 域 P 上 的 线 性 空 间 ;(2) 设 dim 1V m , dim 2V n , 求 dim 1 2( )V V .9. (20分 ) 设 A为 复 数 域 C 上 的 n阶 方 阵 , 其 特 征 多 项 式 为 1( ) ( ) ( ),nf x x a x b 这 里 a b . 假 设A 的 任 意 三 个 特 征 向 量 都 是 线 性 相 关 的 . 对 于 ,C 以 及 正 整 数 ,l 证 明 : , |( ) 0 A En ll nV C 是 C 上 线 性 空 间 nC 的 A的 不 变 子 空 间 , 并 求 C 上 线 性 空 间 ,lV的 维 数 .