2020年中国科学院大学概率论与数理统计考研真题.docx
中国科学院大学2020 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称:概率论与数理统计考生须知:1. 本试卷满分为 150 分,全部考试时间总计 180 分钟。2. 所有答案必须写在答题纸上,写在试题纸上或草稿纸上一律无效。本试卷可能用到的常数:分别以 Z (a) ,c2 (n) 表示标准正态分布、卡方分布的上a0.050.05a分位数, Z (0.005) = 2.57 , Z (0.01) = 2.33 , Z (0.025) = 1.96 , Z (0.05) = 1.65 ,科目名称:概率论与数理统计第 1 页共 3 页c20.05(7) = 14.067 , c2(8) = 15.507 , c2(8) = 16.919 。1. (20 分) 设有 n 个事件 A1 ,L, An , 其概率分别为 p1 ,L, pn , 设 0 pi 1 ,i = 1,L, n .(1) 试用数学归纳法证明: nnP U Ai pi ; i=1i=1(2) 设n 个事件 A1 ,L, An 独立,记 p = p1 +L+ pn . 证明:事件“ A1 ,L, An 都不发生”的概率小于e- p 。2. (10 分)一个均匀骰子有两面涂成白色,有四面涂成黑色。抛掷这个骰子直至首次出现白色为止。试问:游戏至少持续四次或更多次数的概率是多少?3. (15 分)小王外出可以乘坐飞机、高铁、轮船、汽车四种交通工具,其概率分别为 5%、15%、30%、50%,乘坐几种交通工具如期到达的概率依次为 90%、90%、70%、60%。(1) 求小王如期到达的概率;(2) 已知小王误期到达,求他乘坐高铁的概率。 2x ,0 x 0Xf (x) = 0,。 X + Y 和是否独立?说明理由或给出证明。其他Y6. (15 分)设随机向量( X ,Y ) 有概率密度函数 f (x, y) = 1+ xc2 + y2 ,0,x2 + y2 1。其他(1) 求常数c 以及 X 的边缘概率密度;(2) 求给定 X = 1 时, Y 的条件概率密度。27. (10 分)设二维随机向量( X ,Y ) 服从均值为(0, 0) ,协方差阵为 1rr1 的二维正态分布。 求 E max X ,Y 。8. (15 分)计算器在进行加法时,将每个加数舍入最靠近它的整数后再进行加法, 假设所有舍入误差独立且服从(-0.5, 0.5) 上均匀分布(可以认为误差足够多)。试问:最多可以有多少个数相加,能使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于0.9?9. (20 分)设总体 X 服从均匀分布U (q, 2q),q 0,q未知, X1 ,L, Xn 为取自总体 X 的独立同分布样本。(1) 求q的矩估计q 和极大似然估计q ;12(2) 判断q 和q 是否为无偏估计量。1210. (10 分)若两种固体燃料的燃烧率均服从正态分布,均值分别为m1 ,m2 ,并且已知燃烧率的标准差均近似地为s1 =s2 =0.05cm / s ,取样本容量为n1 = n2 = 20 , 得两种燃烧率的样本均值分别为 x1 = 18cm / s , x2 = 24cm / s 。设所有样本独立, 求两燃烧率总体均值差m1 - m2 的置信水平为 0.99 的置信区间。11. (10 分)要求某种导线电阻的标准差不得超过0.005W ,今在生产的一批导线中取样品 9 根,测得其标准差 s = 0.007W 。设总体为正态分布,参数均未知。问在显著性水平a= 0.05 下,能否认为这批导线的标准差显著地偏大?