2020年绍兴文理学院考研真题之851高等代数.pdf
第- 1 - 页,共- 2 - 页 绍兴文 理 学 院 2020 年硕士 研究生入学考试初 试试题(A 卷) 报考专业 : 基础数学 、计算 数 学、应用 数学、 数 学教育 考试科目 : 高等代数 科目代码: 851 注意事项:本试题的 答案 必须写在规定的答题 纸上 ,写在试题上不给分 。 一、 填 空题( 共 32 分, 每小 题 4 分) 1.(4 分)设 38 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 8 11 10 9 8 ) ( 1 2 2 3 2 3 + + + = + + + = x a x a x x x x x f , 则 _ _, 1 2 = = a a 。 2.(4 分) 若 ( ) 1,1,1,1 = , ( ) 1, 2, 4,8 = , ( ) 1, 1,1, 1 , = ( ) 1 ,3 ,9,27 = , 则 , , , 线性 。 3.(4 分)设 A 是一个 3 阶可逆矩阵,且 2 A = ,则 A 的伴随矩阵的行列式等于 。 4.(4 分 ) 数域P 上两个有限维线性空间 1 V 和 2 V 同构的充分必要条件 是 。 5.(4 分) 实数域 R 上 2 阶方阵集合关于矩阵加法和数乘所构成的线性空间 ( ) 22 22 | ij ij R a aR = 的维数为 。 6.(4 分) 已知线性变换 在基 3 2 1 , , 下的矩阵 100 020 003 A = ,则 在基 1 2 3 , , 下的矩 阵为 。 7.(4 分) -矩阵 11 0 4 30 10 2 + 的不变因子是 。 8.(4 分) 向量组 n , , , 2 1 L 到向量组 1 2 1 , , , , n n L 的过渡矩阵为 。 二、 计 算题( 共 90 分, 每小 题 15 分) 1 (15 分)求 43 2 () 3 5 2 =+ fx x x x x 的重因式,且指出其重数。 2 (15 分)计算 n 阶行列式 11 1 1 1 2 22 2 2 3 3 33 3 + + + + L L L MMM M L n n n nn ab b b b b ab b b b b ab b b b b ab ( 0, 1, 2, , k ak n = L )。第- 2 - 页,共- 2 - 页 3 (15 分)讨论 4 3 2 1 , , , a a a a 满足什么条件时,线性方程组 = + = + = + = + 4 4 2 3 3 1 2 4 3 1 2 1 a x x a x x a x x a x x 有解? 在有解的情形 求一般解。 4 (15 分) 设 01000 00100 00010 00001 00000 A = , 证明: A E 是可逆矩阵, 并求 A E 的逆矩阵, 其中 E 为5 阶单位矩阵。 5 (15 分) 求非退化线 性替换使二次型 222 1 2 3 12 23 22 xxx x x x x + + 化为标准形, 并判定该二次 型是否正定。 6 (15 分)设 = 5 4 2 4 5 2 2 2 2 A ,求正交矩阵Q 和对角矩阵 D ,使得 D AQ Q = 1 。 三 、证 明题( 共 28 分, 每小 题 14 分 ) 1. (14 分 )设 P 为数域, , mm nn AP BP , 证明: ( ) ( ) mn nm AO r rA rB OB = + , 其中 ( ) rA , ( ) rB 为矩阵 A , B 的秩。 2 (14 分)设 P 为数域, A 是 n 阶方阵, ( ) 1 | 0, n W X A EX X P = , ( ) 2 | 0, n W X A EX X P =+= , 2 1 , W W 都是 n P 的子空间,证明 12 n P WW = 的充要条件是 E A = 2 ,其中 E 为单位矩阵