东华理工大学 2018年硕士生入学考试初试试题高等数学.docx
xx. 注意:答案请做在答题纸上,做在试卷上无效东华理工大学 2018 年硕士生入学考试初试试题科目代码: 601;科目名称:高等数学;( A 卷)适用专业(领域)名称: 化学、电路与系统、计算机科学与技术、环境科学与工程一、选择题:(共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分)1数列极限J=limn1n11ncost 2tdt=()(A)0.(B)1.(C) .1 .(D) 22设函数 f (x)在a,b上连续,且f (a) = f (b),但f (x)不恒为常数,则在(a,b)内()(A)既有极大值又有极小值.(B)至少存在一点,使f () = 0 .(C)必有最大值或最小值.(D) 既有最大值又有最小值.3设f(x)=2xe x+ax + b sin1, x 2,x 0 x 0在x=0处二阶导数存在,则常数a, b 分别是 ()(A)a=1,b=1(B)a=1,b=12(C)a=1,b=2(D)a=2,b=14设 f (x, y) 有连续的偏导数且 f (x, y)( ydx + xdy) 为某一函数u(x, y) 的全微分,则下列等式成立的是()(A)fx=fy(B)xfx=yfy(C)xfx=yfy(D)xfy=yfx5下列反常积分 0+x2dx+ 4x+3. 0+(e x+1x+ x2 )dx. 0+3e=2dxdx20 sin x.中收敛的是()(A)(B)(C)(D).6. 设 D 是 由 直 线 x = 0, y = 0, x + y = 1 在 第 一 象 限 所 围 成 的 平 面 区 域 , 则J=De( x+ y)2 d=()(A)e + 1(B)e 1(C)e+21(D)e217设f(x)=0x 2ln(1+ sint2 t)dt,g(x)=01cosxtant2 dt,则x0时f (x) 是 g(x) 的()(A)高阶无穷小.(B)低阶无穷小. (C)同阶而非等价无穷小.(D)等价无穷小.第 1 页,共 3 页注意:答案请做在答题纸上,做在试卷上无效8微分方程 y 3y + 2 y = 2xex 的待定特解形式为()(A)( Ax + B)ex(B) Axex(C) Ax2ex(D) x( Ax + B)ex二、填空题:(共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)29lim(1 + x03x)sinx=.10微分方程(3y 2x)dy = ydx 的通解是.11设f(x,y)=x2yx+y 22et dt,则df(x, y)=.12已知ln xx是f (x) 当x0的一个原函数,则 x 2 f (x)dx =.13设 D 是以点 A(1,1), B(1,1), C(1,1) 为顶点的三角形区域,则I=D1+2x2+3y2sin(xy)+4dxdy=.x14曲线 y= 1 += t3t2,在t = 2 处的切线方程为.三、解答题:(共 8 小题,共 94 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本题满分 12 分)设f(x)=2nx +lim1 +n2n2nlim+n (n + 1)2x 2(n n,n+ 2)2+L+(nn+ n)2,xx=0,0,求f (x) .16(本题满分 12 分)求累次积分I=112 dy 142yeyxdx+112dy yyeyxdx.17(本题满分 12 分)设函数f (x) 在 x = 1的某邻域内连续,且有limx0lnf(x+ 1) + 11 x 2+ 3sin 12x=4.(1)求f(1),limx0f(xx+21)及 f (1) ;(2)若又设 f (1) 存在,求 f (1) .第 2 页,共 3 页=22注意:答案请做在答题纸上,做在试卷上无效18(本题满分 12 分)设z = f ( xyx, ) , f 二阶连续可微,求y 2 zx2.19(本题满分 12 分)设f (x) 在区间0, 1 上可微,且满足条件f(1)10xf(x)dx. 试证:存在(0, 1),使 f () +f () = 0 .20(本题满分 10 分)证明:ln(1+x)arctan1+ xx(x0).21(本题满分 12 分)设非负函数f(x)在0 , 1上满足xf( x)=f(x)+3a x2 2,曲线y =f(x)与直线 x = 1 及坐标轴所围图形面积为 2 ,(1)求函数 f (x) ;(2)a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体体积最小?22(本题满分 12 分)设可微函数 f ( x) 0 满足 f ( x) = eax+x0ea ( x2 t 2 )f (t)d t,求 f ( x) 所满足的微分方程.第 3 页,共 3 页