2014年上海海事大学研究生入学考试高等代数考研真题.pdf
2014 年上海海事大学攻读硕士学位研究生入学考试试题 ( 重要提示 :答案必须做在答题纸上,做在试题上不给分) 考试科目 代码 考试科目名称 高等代数 一 填空题 : ( 50分) 1 11 5 3 T , 2 4 7 T ,则 T 。 2 设三阶方阵 A 67 98 19020yxxx可逆,则 yx, 应满足条件 。 3 设 A 是 4 阶方阵, 3A ,则 22A 。 4 要使矩阵43211211tA 的秩最小,则 t 。 5 设 3 阶矩阵 A 的特征值 1, -2, 3,则 32| 5 7 |A A A= 。 6 设3 1 1 25 1 3 42 0 1 10 5 3 3D, D 的 ),( ji 元的代数余子式记作 ijA ,则 43 44AA = 。 7 设 A ij nna 是一 n 阶正定矩阵,而 , nR ,在线性空间 nR 中定义内积; ( , ) A ,则 nR 关于这种内积构成一个 Euclid 空间。在此定义下,计算 n 维向量 (1, 1, 0 , 0) 的长度 。 8 如果 A 是正交矩阵。若 k 是实数,使得 kA 为正交矩阵,则 k= -。 9 在 3R 中 , 线性变换 A 1 2 3 1 2 2 3 1( , , ) ( 3 , , )TTx x x x x x x x , 那么 A 在基 1 (1,0,0)Te , 2 (0,1,0)Te , 3 (0,0,1)Te 下的矩阵是 -。 10 设矩阵 A ij nna ,其特征多项式为 11| nnf E A a 1nnaa, 若用A 的元素表示 f 的系数,我们有 1a - na - 。 二( 15 分) 、 t 取何值时,非齐次线性方程组 1 2 31 2 321 2 31tx x xx tx x tx x tx t ( 1)、 有唯一解;( 2) 、 无解;( 3) 、 有无穷多解 ,并求出通解。 三( 24 分) 、 求一个正交变换把下列二次型 323121232221321 84422),( xxxxxxxxxxxxf 化成标准形 。 四 (16 分 )、 设 R 是实数域, 0 , ,00a b cV a b a b c Ra。 ( 1) 、 证明 V 关于矩阵的加法和数量 乘法构成 R 上的线性空间。 ( 2) 、 任意的 1 2 3121000a a aA a aa, 1 2 3121000b b bB b bb定义二元函数 1 1 2 2 3 3( , )A B a b a b a b 。 证明 V 是欧氏空间。 五 (15 分 )、 证明:如果 是 n 维欧氏空间的一个正交变换,那么 的不变子空间的正交补也是 的不变子空间。 六( 15 分) 、 设 A 是 n 阶矩阵 2n 并且 1)( nArank . 证明 : 1)( * Arank . 其中 *A 表示 A 的伴随矩阵。 七( 15 分 ) 、 设 * 是 n元非齐次线性方程组 AX=b的一个解, 1 , rn 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明: * , 1 , rn 线性无关。